النخبة الكروية والسلبية

الأعدادالمركبة(وتُعرفأيضًابالأعدادالعقدية)هيأحدأهمالمفاهيمالرياضيةالتيتمتدجذورهاإلىالقرنالسادسعشر.تُستخدمهذهالأعدادلحلالمعادلاتالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلة(س²+1=0).فيهذاالمقال،سنستعرضتعريفالأعدادالمركبة،وطرقتمثيلها،والعملياتالأساسيةعليها.

1.تعريفالعددالمركب

العددالمركبهوعدديُكتبعلىالصورة:
أ+بت
حيث:
-أهوالجزءالحقيقي(RealPart)
-بهوالجزءالتخيلي(ImaginaryPart)
-ت(أوiفيالإنجليزية)هيالوحدةالتخيلية،حيثت²=-1

مثال:
العدد(3+4ت)هوعددمركب،حيثالجزءالحقيقيهو3والجزءالتخيليهو4.

2.تمثيلالأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:

أ.التمثيلالجبري(AlgebraicForm)

هوالشكلالأساسي(أ+بت)الذيذكرناهسابقًا.

ب.التمثيلالهندسي(GeometricRepresentation)

يمكنتمثيلالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالإحداثي(مستوىالأعدادالمركبة)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

مثال:
العدد(2+3ت)يُرسمكنقطةعندالإحداثيات(2,شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات3).

ج.الصورةالقطبية(PolarForm)

يمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالزاويةونصفالقطركالتالي:
ع(جتاθ+تجاθ)
حيث:
-عهوالمقياس(Modulus)ويُحسببالعلاقة:ع=√(أ²+ب²)
-θهيالزاوية(Argument)التييصنعهاالعددمعالمحورالحقيقي.

3.العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

أ.الجمعوالطرح

يتمجمعوطرحالأعدادالمركبةبجمعأوطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةكلعلىحدة.
مثال:
(3+2ت)+(1+4ت)=(4+6ت)
(5+ت)-(2+3ت)=(3-2ت)

ب.الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيع،معتذكرأنت²=-1.
مثال:
(2+ت)×(3+2ت)=6+4ت+3ت+2ت²=6+7ت+2(-1)=4+7ت

ج.القسمة

للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)لإزالة"ت"منالمقام.
مثال:
(1+ت)÷(2-ت)=[(1+ت)(2+ت)]÷[(2-ت)(2+ت)]=(2+ت+2ت+ت²)÷(4-ت²)=(1+3ت)÷5=(1/5)+(3/5)ت

4.تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية(تحليلالدوائرالمتناوبة).
-الفيزياءالكمية(تمثيلالدوالالموجية).
-معالجةالإشارات(تحليلفورييه).

الخاتمة

الأعدادالمركبةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولًاللمعادلاتالمستعصية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزأينالحقيقيوالتخيلي،وتمثيلهاالهندسي،وإتقانالعملياتالحسابيةعليها.تُعدهذهالأعدادحجرأساسفيالرياضياتالمتقدمةوالتطبيقاتالعلميةالحديثة.