شرحدرسالأعدادالمركبة(ComplexNumbers)
مقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبةهيأعدادتتكونمنجزئين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.يتمالتعبيرعنهابالصيغةالعامةa+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي-bهوالجزءالتخيلي-iهيالوحدةالتخيليةحيثi²=-1شرحدرسالأعدادالمركبة
تاريخالأعدادالمركبة
ظهرتفكرةالأعدادالمركبةلأولمرةفيالقرنالسادسعشرعندماحاولعلماءالرياضياتحلمعادلاتلايوجدلهاحلفينطاقالأعدادالحقيقية.تمتطويرمفهومهابالكاملفيالقرنالثامنعشرعلىيدعالمالرياضياتليونهاردأويلر.
خصائصالأعدادالمركبة
- الجمعوالطرح:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i
- الضرب:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
- القسمة:يتمضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتي(مستوىالأعدادالمركبة)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
الصيغةالقطبيةللأعدادالمركبة
يمكنالتعبيرعنالعددالمركببالصيغةالقطبية:r(cosθ+isinθ)حيث:-rهوالمقياس(الطول)-θهيالزاوية(الوسيطة)
تطبيقاتالأعدادالمركبة
- فيالهندسةالكهربائيةلحسابدوائرالتيارالمتردد
- فيمعالجةالإشاراتالرقمية
- فيميكانيكاالكم
- فيالرسوماتالحاسوبية
خاتمة
الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةوتسمحبحلمعادلاتلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.فهمالأعدادالمركبةأساسيفيالعديدمنفروعالرياضياتوالعلومالتطبيقية.
شرحدرسالأعدادالمركبةالأعدادالمركبةهيأحدالمفاهيمالأساسيةفيالرياضياتالتيتوسعنطاقالأعدادالحقيقيةلتشملحلولاًللمعادلاتالتيلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةوحدها.فيهذاالدرس،سنتعرفعلىتعريفالأعدادالمركبة،خصائصها،وكيفيةالتعاملمعهافيالعملياتالحسابيةالمختلفة.
شرحدرسالأعدادالمركبةتعريفالعددالمركب
العددالمركبهوعدديمكنالتعبيرعنهبالصيغة:
[z=a+bi]
حيث:
-aوbعددانحقيقيان.
-iهيالوحدةالتخيلية،وتحققالمعادلة(i^2=-1).
-يُسمىaالجزءالحقيللعددالمركب،بينمايُسمىbالجزءالتخيلي.
تمثيلالأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالأعدادالمركبةبعدةطرق،منها:
شرحدرسالأعدادالمركبة- التمثيلالجبري:(z=a+bi)
- التمثيلالبياني:حيثيُرسمالعددالمركبكنقطةفيالمستوىالمركب(مستوىالأرجاند)،حيثالمحورالأفقييمثلالجزءالحقيقيوالمحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.
- التمثيلالقطبي:(z=r(\cos\theta+i\sin\theta))حيثrهوالمقياس(الطول)وθهيالزاوية(الطور).
العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
1.الجمعوالطرح
لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i]
2.الضرب
يتمضربعددينمركبينباستخدامخاصيةالتوزيعومراعاةأن(i^2=-1):
[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i]
3.القسمة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةiمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]
خصائصالأعدادالمركبة
- المرافقالمركب:إذاكان(z=a+bi)،فإنمرافقههو(\overline{ z}=a-bi).
- المقياس:مقياسالعددالمركب(z=a+bi)هو(|z|=\sqrt{ a^2+b^2}).
- المعادلاتالتربيعية:الأعدادالمركبةتسمحبحلمعادلاتمثل(x^2+1=0)التيليسلهاحلولفيالأعدادالحقيقية.
تطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائيةالتيتعملبالتيارالمتردد.
-الفيزياء:فيميكانيكاالكمومعادلاتالموجات.
-معالجةالإشارات:فيتحليلالإشاراتالرقميةوالتناظرية.
خاتمة
الأعدادالمركبةتوسعفهمناللرياضياتوتقدمأدواتقويةلحلمشاكلمعقدةفيالعلوموالهندسة.بفهمأساسياتهاوخصائصها،يمكنتطبيقهابفعاليةفيالعديدمنالتخصصات.
شرحدرسالأعدادالمركبةالأعدادالمركبةهيمفهومرياضيمتقدميمثلتوسيعًالمجموعةالأعدادالحقيقيةالتينعرفها.فيهذاالدرس،سوفنستكشفتعريفالأعدادالمركبة،خصائصهاالأساسية،وكيفيةإجراءالعملياتالحسابيةعليها.
شرحدرسالأعدادالمركبةتعريفالعددالمركب
العددالمركبهوأيعدديمكنكتابتهعلىالصورة:a+biحيث:-aهوالجزءالحقيقي(RealPart)-bهوالجزءالتخيلي(ImaginaryPart)-iهيالوحدةالتخيليةالتيتحققالمعادلةi²=-1
شرحدرسالأعدادالمركبةالتمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبعلىالمستوىالديكارتي(مستوىالأعدادالمركبة)حيث:-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي
شرحدرسالأعدادالمركبةالعملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة
الجمع:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالطرح:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالضرب:(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
شرحدرسالأعدادالمركبةالقسمة:للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام
شرحدرسالأعدادالمركبة
مرافقالعددالمركب(ComplexConjugate)
مرافقالعددالمركب(a+bi)هو(a-bi).لهأهميةكبيرةفيتبسيطالعملياتالحسابية.
شرحدرسالأعدادالمركبةمعيارالعددالمركب(Modulus)
معيارالعددالمركبz=a+biهو:|z|=√(a²+b²)
شرحدرسالأعدادالمركبةتطبيقاتالأعدادالمركبة
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثل:-الهندسةالكهربائية-معالجةالإشارات-ميكانيكاالكم-الرسوماتالحاسوبية
شرحدرسالأعدادالمركبةأمثلةتطبيقية
مثال1:احسبناتج(3+2i)+(1-4i)الحل:(3+1)+(2-4)i=4-2i
شرحدرسالأعدادالمركبةمثال2:احسبحاصلضرب(1+i)(2-3i)الحل:(1×2-1×3i+i×2-i×3i)=2-3i+2i-3i²=2-i-3(-1)=5-i
شرحدرسالأعدادالمركبةالخلاصة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومناللأعدادوتفتحآفاقًاجديدةفيالرياضياتوالتطبيقاتالعملية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالجزءالحقيقيوالتخيلي،وإتقانالعملياتالأساسيةعليها.
شرحدرسالأعدادالمركبةمقدمةعنالأعدادالمركبة
الأعدادالمركبة(ComplexNumbers)هيأعدادتتكونمنجزأين:جزءحقيقي(RealPart)وجزءتخيلي(ImaginaryPart).تكتبعادةبالصيغةa+bi،حيث:
-aهوالجزءالحقيقي.
-bهوالجزءالتخيلي.
-iهوالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1.
تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالاتمثلالهندسةالكهربائية،الفيزياء،وحلالمعادلاتالرياضيةالتيلايوجدلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية.
شرحدرسالأعدادالمركبةخصائصالأعدادالمركبة
الجمعوالطرح:
شرحدرسالأعدادالمركبة
عندجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالأجزاءالتخيليةبشكلمنفصل.
مثال:
(3+2i)+(1+4i)=(3+1)+(2i+4i)=4+6iالضرب:
شرحدرسالأعدادالمركبة
عندضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأنi²=-1.
مثال:
(2+3i)×(1+2i)=2×1+2×2i+3i×1+3i×2i=2+4i+3i+6i²=2+7i+6(-1)=-4+7iالقسمة:
شرحدرسالأعدادالمركبة
لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقام(Conjugate)للتخلصمنالجزءالتخيليفيالمقام.
مثال:
(4+5i)/(1-2i)=[(4+5i)(1+2i)]/[(1-2i)(1+2i)]=[4+8i+5i+10i²]/[1-(2i)²]=[4+13i-10]/[1+4]=(-6+13i)/5=-6/5+(13/5)i
التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة
يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي(المستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a).
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b).
هذاالتمثيليساعدفيفهمالعملياتمثلالجمعوالضربهندسياً.
شرحدرسالأعدادالمركبةخاتمة
الأعدادالمركبةتوسعمفهومالأعدادالحقيقيةوتقدمحلولاًللمعادلاتالتيلايمكنحلهاباستخدامالأعدادالحقيقيةفقط.بفهمخصائصهاوتطبيقاتها،يمكناستخدامهافيحلمشكلاترياضيةوعلميةمعقدة.
شرحدرسالأعدادالمركبة